Processing math: 100%
121216 初版
私のpageの著作権は放棄していません。
南麻布広男が所有しています。
常識の範囲でお使いください。
私は無償だと思って書いています。
例えば,これを無断で使って利益を得てはいけません。
もどる
四面体OABCの体積を計算せよ。
三角形OBCを底面としたとき,高さARの長さを出すには,
いろいろな手法があるが,
今回は
正射影
の考えを使ってみる。
∠OAR=θとして,
cosθ=→AO⋅→AR|→AO||→AR|
よって,
AR=OAcosθ=→AO⋅→ARAR
つまり,
AR=√→AO⋅→AR
AR=√→AO⋅→AR
=√(→a⋅→a)−(→a⋅→b)s−(→a⋅→c)t
体積は
V=13S⋅AR
行列式の記号を用意する。
|abcd|=ad−bc
|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=a11|a22a23a32a33|−a12|a21a23a31a33|+a13|a21a22a31a32|
s,
t は
クラメルの公式
を使って,
Δa=|→b⋅→b→b⋅→c→c⋅→b→c⋅→c|,
Δb=|→b⋅→a→b⋅→c→c⋅→a→c⋅→c|,
Δc=|→b⋅→a→b⋅→b→c⋅→a→c⋅→b|, とおいて,
s=ΔbΔa,
t=−ΔcΔa
また,
S=12√Δa
よって,
V=16√(→a⋅→a)Δa−(→a⋅→b)Δb+(→a⋅→c)Δc
したがって,
Δ=|→a⋅→a→a⋅→b→a⋅→c→b⋅→a→b⋅→b→b⋅→c→c⋅→a→c⋅→b→c⋅→c| とおいて,
V=16√Δ