直線 y=2x に関して P(x, y) と対称な点 P′(x′,y′)
を求める。
方法1
線分PP′の中点をHとすると，
H\(\left(\dfrac{x+x^\prime}{2},\dfrac{y+y^\prime}{2}\right)\)
この点は y=2x 上にあるので，
\(2\cdot\dfrac{x+x^\prime}{2}=\dfrac{y+y^\prime}{2}\)
この式を次のように変形する。
\(2x-y=-2x^\prime+y^\prime\)…①
また，
直線PP′は y=2x と直交するから，
方向ベクトルどうしの内積を取って，
\((x-x^\prime)+2(y-y^\prime)=0\)
この式を次のように変形する。
\(x+2y=x^\prime+2y^\prime\)…②
あとは，連立方程式を解く。
普通に解くか，行列を使うかの違いはあるが，
\(A=\left(\begin{array}{cc}
2 & -1\cr
1 & 2\cr
\end{array}\right)\),
\(B=\left(\begin{array}{cc}
-2 & 1\cr
1 & 2\cr
\end{array}\right)\)
\(B
\left(\begin{array}{c}
x^\prime\cr
y^\prime\cr
\end{array}\right)
=A
\left(\begin{array}{c}
x\cr
y\cr
\end{array}\right)
\)
\(
\left(\begin{array}{c}
x^\prime\cr
y^\prime\cr
\end{array}\right)
=B^{-1}A
\left(\begin{array}{c}
x\cr
y\cr
\end{array}\right)
\)
\(B^{-1}A\) が この変換を表す行列である。
\(B^{-1}A=\dfrac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}
-2 & 1\cr
1 & 2\cr
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
2 & -1\cr
1 & 2\cr
\end{array}\right)
=\dfrac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}
-3 & 4\cr
4 & 3\cr
\end{array}\right)\)