2017センター試験 ベクトル

170121 初版 170121 更新

仮定

O(0, 0),   B\((1,\sqrt{3})\),   C\((-1,\sqrt{3})\),   E\((-1,-\sqrt{3})\),   F\((1,-\sqrt{3})\)
線分BF 上に点P(1, a) をとって,
点Pから直線CE に引いた垂線と, 点Cから直線EP に引いた垂線の交点をH とする。
結論
三角形OPH は OH = PH の二等辺三角形である。
さらに, OP と OH のなす角を θ とすると, OP と x軸の正の部分とのなす角も θ である。
実際
\(\overrightarrow{\rm EP}=(2, a+\sqrt{3})\)
H(x. a) とおくと,
\(\overrightarrow{\rm CH}=(x+1, a-\sqrt{3})\)
\(\overrightarrow{\rm EP}\cdot\overrightarrow{\rm CH}=0\) だから,\(x=\dfrac{1-a^2}{2}\)
H\(\left(\dfrac{1-a^2}{2},a\right)\) で a を媒介変数とみて,
Hは放物線 y2 = 1 - 2x 上の点である。
また,\({\rm OH} = \dfrac{1+a^2}{2}\),   \({\rm PH} = \dfrac{1+a^2}{2}\)
すなわち,OH = PH
PH は x 軸と平行だから,後半もいえた。
H は 点O を焦点, 直線BF を準線とする放物線上の点である。
どうやら元ネタは垂心の軌跡