垂心の軌跡

A\((3p,2\sqrt{3}p)\),   B\((3p,-2\sqrt{3}p)\)  とする。
点C を直線 x = -p 上の点とするとき
三角形 ABC の垂心 H の 軌跡は， 放物線 y² = 4px である。
この放物線は，焦点は (p, 0)， 準線は x = -p である。

2017 センター試験 の素材である。

H(x, y) とおくと，C(-p, y) で，
\(\overrightarrow{\rm AH}\cdot \overrightarrow{\rm BC}=0\)
よって， x, y の満たすべき式は，
\((x-3p)(-4p)+(y-2\sqrt{3}p)(y+2\sqrt{3}p)=0\)
すなわち，y² = 4px