公式たち
どのくらい公式があるといいのかというのを
知りたいので載せて問題からlinkをはる。
\(\displaystyle{\int\ (ax+b)^2\ dx=\dfrac{1}{3a}(ax+b)^3+C}\) ただし\(C\) は積分定数
証明 TaDaNo計算
\(f(x)=(ax+b)^3=a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3\)
\(f^\prime(x)=3a^3x^2+6a^2bx+3ab^2=3a(ax+b)^2\)
別の見方，合成関数
\(t=ax+b\)とおくと，\(\dfrac{dt}{dx}=a\)
\(\displaystyle{\int\ (ax+b)^2\ dx}\)
\(\displaystyle{=\int\ t^2\ dx=\int\ t^2\ \dfrac{dx}{dt}\ dt}\)
\(\displaystyle{=\int\ \dfrac{1}{a}t^2\ dt=\dfrac{1}{3a}t^3+C}\)
\(=\dfrac{1}{3a}(ax+b)^3+C\) ただし\(C\) は積分定数
\(\displaystyle{\int(3x-2)^2\ dx=\int(9x^2-12x+4)\ dx=3x^3-6x^2+4x+C_1}\)
(\(C_1\)は積分定数)であるが，
次の公式を使うと
\(\displaystyle{\int(3x-2)^2\ dx=\frac{1}{9}(3x-2)^3+C_2=3x^3-6x^2+4x-\frac{8}{9}+C_2}\)
(\(C_2\)は積分定数)である
微分すると，ともに\(9x^2-12x+4\)だから，両方とも正しい
このように不定積分は微分して元に戻れば正しい。