放物線\(C:\ y=x^2-3x+4\)とこの放物線の接線うち原点を通る直線，および\(y\)軸で囲まれた部分の面積
を求める問題
簡単のために接線の傾きは正とする。
グラフ
面積は，
線分の長さに重みをつけて足し合わせればよい。
まず接線の方程式を求めよう。
\(f(x)=x^2-3x+4\)
\(f^\prime(x)=2x-3\)
接点をA \((t,f(t))\) として，
Aにおける接線の方程式は， \(\ell:\ y=(2t-3)x-t^2+4\)
接線の方程式は直線の方程式なので，
右辺は \(x\) についての1次式であることが，わかるように整理するとよい。
\(\ell\)は原点を通る，
しかも傾きは正であるから，\(t=2\)
すなわち，\(\ell: y=x\)
積分する式は，
\(f(x)-x=(x^2-3x+4)-x=(x-2)^2\)
完全平方式になるのは偶然ではない。
(理由は
ここ)
このように，問題を解くときには，
流れを作っておいて，
計算は必要に応じて行うほうがよい。
したがって，求める面積\(S\)は，
\(\displaystyle{S=\int_0^2\ (x-2)^2\ dx}\)
有名な公式により，
\(\displaystyle{S=\int_0^2\ (x-2)^2\ dx=\left[\frac{1}{3}(x-2)^3\right]_0^2}\)
\(=\dfrac{8}{3}\)