図において，
∠BOA=θ,  OA=OB=1,  BH⊥OA,  TA⊥OA, とすると，
BH=sinθ  \(\stackrel{\Large\mbox{$\frown$}}{\rm AB}=\theta\),  TA=tanθ
長さの大小関係より， \(\sin\theta < \theta < \tan\theta\)
逆数をとって， \(\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} < \dfrac{1}{\theta} < \dfrac{1}{\sin\theta}\)
sin θをかけて， \(\cos\theta < \dfrac{\sin\theta}{\theta} < 1\)
\(\displaystyle{\lim_{\theta\rightarrow +0}\cos\theta=1}\) より， \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +0}\dfrac{\sin x}{x}=1}\)

x=-t とおいて， \(\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\sin(-t)}{-t}=\dfrac{\sin t}{t}\)  参考 こちら
x→ -0 と t→ +0 は同じことだから。