3点が同一直線上にある

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2点A, B があるとその2点を通る直線はただ1つ存在する。

3点目がその直線上にあるには，何か条件が整わなくてはならない。
点P が直線AB 上にあるための条件を考えよう。

点P が直線AB 上にある必要かつ十分な条件は

$\overrightarrow{\rm AP}$ が

$\overrightarrow{\rm AB}$ の実数倍でかけること
すなわち，

$\overrightarrow{\rm AP}=k\overrightarrow{\rm AB}$ となる実数 k が存在することである。

位置ベクトルの関係式で書けば，

$\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA}= k(\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA})$ であるから，

$\overrightarrow{\rm OP}= (1-k)\overrightarrow{\rm OA}+k\overrightarrow{\rm OB}$

任意の点に対して，

$\overrightarrow{\rm OP}= s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}$
なる (s, t) が存在するが，

P が直線 AB 上にある ⇔ s + t = 1

ということができる。

そうならないときを考えるのは，理解を助けることが多い。

点P が直線AB 上にないということは

$\overrightarrow{\rm AP}$ が

$\overrightarrow{\rm AB}$ の実数倍でかけないということ
すなわち，

$\overrightarrow{\rm AP}=k\overrightarrow{\rm AB}+l\overrightarrow{\rm AC}$
となる直線AB 上にない点C と， 0 でない実数 l が
存在してしまうことである。

位置ベクトルの関係式で書けば，

任意の点に対して，

$\overrightarrow{\rm OP}= s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}$
なる (s, t) が存在するが，

P が直線 AB 上にない ⇔ s + t ≠ 1

ということができる。

また，

P が 2直線 EF, KL の交点であるとは，

$\overrightarrow{\rm EP}=s\overrightarrow{\rm EF}$ … ①

$\overrightarrow{\rm KP}=t\overrightarrow{\rm KL}$ … ②
と表せるということである。

位置ベクトルの関係式で書けば，

$\overrightarrow{\rm OP}= (1-s)\overrightarrow{\rm OE}+s\overrightarrow{\rm OF}$ … ③

$\overrightarrow{\rm OP}= (1-t)\overrightarrow{\rm OK}+t\overrightarrow{\rm OL}$ … ④

このように様子を式で表して，
① を ③ へ， ② を ④ への書き換えに慣れている人は，
ベクトルの考えを使いこなしているといえる。