3点A, B, C があると
その3点を通る平面がただ1つ存在する。
4点目がその平面上にあるには，
何か条件が整わなくてはならない。
点P が平面ABC 上にあるための条件を考えよう。
点P が平面ABC 上にある必要かつ十分な条件は
\(\overrightarrow{\rm CP}\) が
\(s\overrightarrow{\rm CA}\),
\(t\overrightarrow{\rm CB}\)
の結合でかけること
すなわち，
\(\overrightarrow{\rm CP}=s\overrightarrow{\rm CA}+t\overrightarrow{\rm CB}\) となる
実数 s, t が存在することである。
位置ベクトルの関係式で書けば，
\(\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OC}=
s(\overrightarrow{\rm OA}-\overrightarrow{\rm OC})+
t(\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OC})\) であるから，
\(\overrightarrow{\rm OP}=
s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
+(1-s-t)\overrightarrow{\rm OC}\)
空間では
任意の点に対して，
\(\overrightarrow{\rm OP}=
s\overrightarrow{\rm OA}+
t\overrightarrow{\rm OB}+u\overrightarrow{\rm OC}\)
なる (s, t, u) が存在するが，
P が平面ABC 上にある ⇔ s + t + u = 1
ということができる。
そうならないときを考えるのは，
理解を助けることが多い。
点P が平面ABC 上にないということは
\(\overrightarrow{\rm CP}=s\overrightarrow{\rm CA}+t\overrightarrow{\rm CB}
+u\overrightarrow{\rm CD}\)
となる 平面ABC 上にない 点D と，
0 でない実数 u が
存在してしまうことである。
位置ベクトルの関係式で書けば，
空間では，
任意の点に対して，
\(\overrightarrow{\rm OP}=
s\overrightarrow{\rm OA}+
t\overrightarrow{\rm OB}+u\overrightarrow{\rm OC}\)
なる (s, t, u) が存在するが，
P が平面ABC 上にない ⇔ s + t + u ≠ 1
ということができる。
また，
P が 直線 MN と 平面DEF の交点であるとは，
\(\overrightarrow{\rm MP}=k\overrightarrow{\rm MN}\) … ①
\(\overrightarrow{\rm FP}=s\overrightarrow{\rm FD}+t\overrightarrow{\rm FE}\) … ②
と表せるということである。
位置ベクトルの関係式で書けば，
\(\overrightarrow{\rm OP}=
(1-k)\overrightarrow{\rm OM}+k\overrightarrow{\rm ON}\) … ③
\(\overrightarrow{\rm OP}=
s\overrightarrow{\rm OD}+t\overrightarrow{\rm OE}
+(1-s-t)\overrightarrow{\rm OF}\) … ④
このように
様子を式で表して，
① を ③ へ，
② を ④ への書き換えに慣れている人は，
ベクトルの考えを使いこなしているといえる。