正射影と円の接線

点 C(\(\vec{c}\)) を中心とする半径 r の円上の点を A(\(\vec{a}\)) とする。
点A におけるこの円の接線のベクトル方程式は， その接線上の任意の点を P(\(\vec{p}\)) として，
\((\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{a}-\vec{c})=r^2\)
で与えられることを示せ。

教科書，平面ベクトル本文最後の練習問題である。
何か意図があるのかと思ったのだが， 編集には他意はなさそうである。
正射影を使って解いてみる。

\( \overrightarrow{\rm CP}\cdot\overrightarrow{\rm CA} ={\rm CP}\cdot{\rm CA}\cdot \cos\angle{\rm PCA}\)

三角形ACP は 角A が直角の直角三角形
ゆえに，\(\cos\angle{\rm PCA}=\dfrac{\rm CA}{\rm CP}\)

よって，
\( \overrightarrow{\rm CP}\cdot\overrightarrow{\rm CA} ={\rm CA}^2\)   (直角三角形と正射影，内積)

すなわち，
\( (\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})=r^2 \)