矢印で定義したベクトルに対して，計量を入れる。
O を始点とする2つの半直線がある。
半直線上にそれぞれ点A, B をとる。
O を中心とした半径 r の円が半直線OA, OBと交わる点をそれぞれP, Qとする。
短いほうの弧PQ の長さを r で割ったものを半直線OA, OB のなす角の大きさといい θ とかく。
\(\overrightarrow{\rm OA}\) の 長さを \(\left|\overrightarrow{\rm OA}\right|\) とかく。
すなわち， OA = \(\left|\overrightarrow{\rm OA}\right|\)
\(\overrightarrow{\rm OA}\) と \(\overrightarrow{\rm OB}\) の
内積
\(\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}\) を
\(\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}\) = OA • OB cos θ で定義する。
\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) の 内積
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) を
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta\) で定義する。
ここで，θ は
\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) のなす角であり，
\(\vec{a}=\overrightarrow{\rm OA}\), \(\vec{b}=\overrightarrow{\rm OB}\) となる 3点 O, A, B
における，∠AOB のことである。
内積は ほぼ 角を表していると考える。
何気ないけど，大切で，誤解の多い公式
\(\vec{a}\cdot\vec{a}=\left|\vec{a}\right|^2\)