ベクトルは図形の問題を解く道具である。
そう思っていると、教科書にはないがよく用いられる考えがある。
平面 α の 法線ベクトルを \(\vec{n}\) とする。
点 P と α との距離を求めよう。
H を P から α に下ろした垂線の足とする。
手法1
正射影の考えを使う。
α 上に 点 A をとり，
直角三角形PAH に注目する。
∠ APH = θ とおく。
PH = PA cos θ
ところで，\(\cos\theta = \dfrac{\left|\overrightarrow{\rm PA}\cdot\vec{n}\right|}{{\rm PA}\cdot\left|\vec{n}\right|}\)
ゆえに，\({\rm PH}=\dfrac{\left|\overrightarrow{\rm PA}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|}\)
手法2
手法1とおなじことだが，
α 上に 点 A をとり，
\(\overrightarrow{\rm AH}\cdot\vec{n}=0\) … ①
\(\overrightarrow{\rm PH}=t\vec{n}\) なる t がある。… ②
① より，
\((\overrightarrow{\rm PH}-\overrightarrow{\rm PA})\cdot\vec{n}=0\) … ③
すなわち，
\(\overrightarrow{\rm PH}\cdot\vec{n}=\overrightarrow{\rm PA}\cdot\vec{n}\)
② より
\(t=\dfrac{\overrightarrow{\rm PA}\cdot\vec{n}}{\left|\vec{n}\right|^2}\)
再び ② より
\({\rm PH}=\dfrac{\left|\overrightarrow{\rm PA}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{n}\right|}\)
③ の変形が決め手である。
座標から高さを出す際にも，ベクトルの考えを使って求めたほうがいいと思う。