順列 4桁の整数を作る

n個から r個とって1列に並んでいる場合の数を \({}_n{\rm P}_r\) で表します。

6つの数字123456 から 3つとって並べる方法を考えます。
最初の2つが12 だとすると，3つめは 4とおり あります。
最初の1つが1 だとすると，2つめは 5とおり あります。
したがって，最初の1つが1 だとすると， あと2つは 5 × 4 の 20とおり あります。
したがって，並べる方法は \({}_6{\rm P}_3=6× 5× 4\) で 120とおり あります。

一般に, \({}_n{\rm P}_r\) は n, n-1, n-2,…, n-r+1 の積です。
すなわち， \({}_n{\rm P}_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}\)
n個のすべてを1列に並べる方法は n! です。
このうち，先頭から r個の並べ方を問題にして， 残り n - r(個)の並びは問題にしないと， この式を解釈することができます。

千の位が 1 のものは \({}_5{\rm P}_3\) の 60個あります。
千の位が 2, 3, 4, 5 のものも同じだけありますから，
全部で 300 個あります。

このうち，奇数のものは何個あるか求めてみましょう。
一の位が 3, 5 のものも同じだけありますから， 全部で 144 個あります。
分類 の考えが大切です。

このうち，偶数のものは何個あるか求めてみましょう。
補集合の考えを使うと，156個であることがわかります。
一の位で分類して求めてみましょう。
確かに全部で 156 個あります。
分類 の考えが大切です。

4200より大きい数はいくつあるか求めてみましょう。
したがって，96個あることがわかります。

小さい順に並べたとき3412は何番目か求めてみましょう。
したがって，149番目であることがわかります。