点と直線の距離

　点P $(x_1, y_1)$ と直線 ℓ: $ax+by+c=0$ の距離 d を計算してみましょう。 正射影ベクトルを使う考えがありますが， ここでは，直接計算してみます。

　P を通り ℓ と垂直な直線ℓ' と ℓ との交点を H $(x_0, y_0)$ とします。 ここで，
d = PH = $\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$ … ①
これを計算すればよいことになります。

　ℓ' の方程式は，$bx-ay=bx_1-ay_1$ ですから， $(x_0, y_0)$ について，
$b(x_1-x_0)-a(y_1-y_0)=0$ … ②
が成り立ちます。

　H は ℓ 上の点ですから，$ax_0+by_0+c=0$. 少し変形して，
$a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)=c^\prime$ … ③
が成り立ちます。 ここで，$c^\prime=ax_1+by_1+c$

　② ③ を $(x_1-x_0, y_1-y_0)$ についての連立方程式とみて解けば，
$(x_1-x_0, y_1-y_0)$ $=(\dfrac{ac^\prime}{a^2+b^2}, \dfrac{bc^\prime}{a^2+b^2})$

　よって，d = $\sqrt{\dfrac{(c^\prime)^2}{a^2+b^2}}$, すなわち，
d$=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$