161122 初版 170903 更新
高校で学習する数学でベクトルは印象が強いようです。
日常の用語でもよく使われています。
有向線分(矢線ベクトル，幾何ベクトル)から始まって，
その中から代数的な特徴を整理して，一般化します。
また，図形を数式で表すことを学びます。
長さや角の大きさという量と内積との結びつき，
3点が同一直線上にあるということはどのような関係式で表されるか，
4点が同一平面上にあるということはどう表されるか。
知識として整理して，問題解決につなげます。
ものの様子を式で表すという考えを学びます。
2点A, Bがあったとき，
AからBに向かう有向線分 を \(\overrightarrow{\rm AB}\) とかくことにします。
このとき，Aを始点，Bを終点といいます。
平行四辺形ABCDがあったとき，
\(\overrightarrow{\rm AB}\) と \(\overrightarrow{\rm DC}\) は
等しいと定義します。
2つの有向線分が平行移動で重なるとき，等しいと定義しているのです。
また，\(\overrightarrow{\rm AB}\) と \(\overrightarrow{\rm CD}\) は等しくありません。
\(\overrightarrow{\rm AB}\) を \(\vec{a}\) とすると，
\(\overrightarrow{\rm DC}\) は \(\vec{a}\) となります。
\(\vec{a}\) は \(\overrightarrow{\rm AB}\) と等しい有向線分の代表とみることができます。
同様に，\(\overrightarrow{\rm AD}=\vec{b}\) とおくと，
\(\overrightarrow{\rm BC}=\vec{b}\) が成り立ちます。
幾何ベクトルは，
有向線分を平行移動で一致するものを等しいと同一視した同値類です。
有向線分の位置は問題にせず，大きさと向きで決まるものです。
3点A, B, Cがあったとき，
\(\overrightarrow{\rm AB}\) と \(\overrightarrow{\rm BC}\) の和を
\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm AC}\)
と定義します。2つの有向線分を 継ぎ足して います。
一般に\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) の和は，
\(\vec{a}=\overrightarrow{\rm AB}\), \(\vec{b}=\overrightarrow{\rm BC}\) となるように適切に3点をとって定義されます。
\(\vec{a}+\vec{b}\) と \(\vec{b}+\vec{a}\) は等しくなります。… ①
これは，平行四辺形ABCDについて，
\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}\) と
\(\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm DC}\) は同じく
\(\overrightarrow{\rm AC}\) であることからいえます。
同じく 平行四辺形ABCDについて，
\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm AC}\) ですが，
\(\overrightarrow{\rm BC}\) と \(\overrightarrow{\rm AD}\) は等しいので，
\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm AC}\) が
成り立ちます。
2つのベクトルの和は，継ぎ足し とみることも，
合成 とみることもできます。
これはちょうど，自然数の足し算が，追加と合併の2つの見方があることと同じです。
\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}\) と \(\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)
は等しくなります。… ②
したがって，\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) とかくことができますし，
① ② により，加法は順序によりません。
始点と終点が一致しているベクトルを零ベクトルといいます。
\(\overrightarrow{\rm AA}=\vec{0}\)
\(\overrightarrow{\rm AB}=\vec{a}\) とすると，
\(\overrightarrow{\rm BA}\) は \(-\vec{a}\) とかいてよいでしょう。
\(\vec{a}\) の逆ベクトルといいます。
\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BA}
=\overrightarrow{\rm AA}\) なので妥当な定義です。
平行四辺形ABCDにおいて，
\(\overrightarrow{\rm AB}=\vec{a}\) とすると，
\(\overrightarrow{\rm CD}=-\vec{a}\)
\(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}\) ですから，
\(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AB}
+\overrightarrow{\rm AO}=\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm AO}\)
\(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm OA}
+\overrightarrow{\rm AO}=\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm AO}\)
したがって，
\(\overrightarrow{\rm AB}
=\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}\)
この式より，減法は，逆ベクトルの継ぎ足し，
あるいは，点の移動量(変化量)とみることができます。
例えば，四角形ABCD は 辺AB と CD が平行である台形とします。
AB : CD = 3 : 5 とします。
このとき，
\(\overrightarrow{\rm DC}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{\rm AB}\) とかきます。
\(\overrightarrow{\rm CD}=-\dfrac{5}{3}\overrightarrow{\rm AB}\)
2つのベクトルが同じ向きのとき，正の実数倍で表せると定義します。
正反対の向きは負の実数倍です。
実数倍については，次のような性質が成り立ちます。
\(k(l\vec{a})=(kl)\vec{a}\)
\(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\)
\((k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}\)
以上のことは，ベクトルは \(\mathbb{R}\) - 加群の構造をもつといいます。
すなわち，
加法に対して順序によらず，
実数倍と分配法則，
同類項をまとめる，そして移項ができて，
一次方程式 \(k\vec{x}+\vec{a}=\vec{b}\) を満たす\(\vec{x}\) を求めることができます。
以上が有向線分から始めた，ベクトルの演算とその代数的な特徴です。