数学的活動の一場面

ユークリッドのころは，式もない，アラビア数字すらなかったのです。
互除法にどうやって気が付いたのか想像してみます。

8の倍数と5の倍数で違う見方をします。 アニメーション

先ほどの下の段の丸の列を8区切りで折り返しました。
これは何を表しているのでしょうか？
今度は公倍数はどのようなときでしょうか？

\(n=8\), \(m=5\)のとき，
5段目でようやく右端に青丸が来ます。
(どうして？という問いかけの場面です)
明らかな公約数\(8\times 5\)が最小公倍数
言い換えると，8と5が互いに素だからですね。

そして，その5段を縦に見ると， 8列ちょうど1度ずつ青丸がくることが分かります。
(気づいたことはないかな？という問いかけの場面です)
数学的活動の第2段階では，生徒の気づきを集団で共有する場面をもちます。

現象を表で整理します。

\(a\)	1	2	3	4	5	6	7	8
\(5a\)  (mod 8)	5	2	7	4	1	6	3	0

この表はもちろん正直に，
5掛ける\(a\)をやってから8で割ってもいいですが，
5ずつ進んで8を超えたら折り返すという
アニメーションの様子を思い出させるのがいいと思います。(等差数列です)
数列の考え(逐次的・帰納的考え)はどうも本県は弱いようです。
私の仮説では，中学入試を体験している生徒が， ほとんどいないことが理由です。

\(n=5\), \(m=8\)と入れ替えてみましょう。
8段目でようやく右端に青丸が来ます。
1段おきに青丸がない段ができます。
それを除くと，3つ進んでは5を超えたら折り返しています。
(どうして？という問いかけの場面です)

そして，その8段を縦に見ると， 各列やはりちょうど1度ずつ青丸がくることが分かります。

\(a\)	1	2	3	4	5
\(8a\)  (mod 5)	3	1	4	2	0

なぜ各列ちょうどひとつずつになるのか。 推論に入ります。
2つの整数に対して， それぞれ5倍したときの8で割った余りが等しいとしましょう。
数式で表現すると，
整数\(a\), \(a^\prime\)に対して，
\(5a+8k=5a^\prime\)なる整数\(k\)があると仮定できます。
すなわち，\(8k=5(a^\prime-a)\)
8と5の最小公倍数は明らかな公倍数\(8\times 5\)であったから， \(a^\prime-a\)は8の倍数です。
特に整数\(a\), \(a^\prime\)の差が8未満であれば0，
すなわち\(a\)と\(a^\prime\)は等しいことになります。
対偶をとって，
2つの整数が異なるならば， 5倍した数の8で割った余りは異なる。

この命題は，互いに素でないならば成り立たない。

\(a\)	1	2	3	4
\(12a\)  (mod 16)	12	8	4	0

高校ならば生徒の能力に合わせて，説明を考えさせたい。
これを含めての数学的活動です。
2つの整数に対して， それぞれ12倍したときの16で割った余りが等しいとしましょう。
数式で表現すると，
整数\(a\), \(a^\prime\)に対して，
\(12a+16k=12a^\prime\)なる整数\(k\)があると仮定できます。
すなわち，\(16k=12(a^\prime-a)\)
明らかな公倍数\(16\times 12\)は最小公倍数ではありませんでした。
\(a^\prime-a\)は4の倍数です。
特に整数\(a\), \(a^\prime\)の差が16未満であれば
0，4, 8, 12の4通りあります。

ここまでくると，後は互除法に至るのは簡単です。
\(m < n\)ならば，逆に \(n\)の倍数の\(m\)を法とする余りを考えればよい。
それは\(n\)の\(m\)で割った余り\(r\)の倍数を\(m\)を法として考えることと同じです。
アニメーション

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