141130 初版 141130 更新

無限級数の考え (初級)

数学の小部屋  > 例題のない教科書   > 積分の考え  

記号   \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha}\)
これは，数列 {an} について，
「n を大きくしたとき，an の値は α に近づく」 ということを述べている。
例
\(\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}=0}\)
\(\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \dfrac{n+1}{n}=1}\)
数列の和　級数について，
無限級数の和は 初項から第n項までの和の極限とする。
\(S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}\)
\(\displaystyle{\lim_{n\to\infty} S_n=2}\)
\(S_n=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}\)
\(\displaystyle{\lim_{n\to\infty} S_n=1}\)
\(S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\)
\(\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \dfrac{S_n}{n^3}=\dfrac{1}{3}}\)