150124 初版 150124 更新
問題
\(x\geqq 0\) のとき，
不等式 \(x^3+4\geqq 3x^2\) が成り立つことを証明せよ。
\(x\geqq 0\) における \(f(x)=(x^3+4)-3x^2\) のとりうる値の範囲を調べる。
\(f^\prime(x)=3x^2-6x\)
ゆえに f(x) は
\(0\leqq x\leqq 2\) において，単調に減少する。
\(2\leqq x\) において，単調に増加する。
したがって，x = 2 において最小となる。
すなわち，
\(x\geqq 0\) なる すべての x に対して，
\(f(x)\geqq f(2)\)
ここで，f(2) = 0
したがって，
\(x\geqq 0\) のとき，
\(x^3+4\geqq 3x^2\) が成り立つこと がいえた。