方程式 \(x^2=2i\) の解は何だろうか。
α をこの式を満たす数とすると、
-α もこの式を満たす。
この方程式は2次方程式であるので、
存在すると、この2数しかない。
a, b を実数として、\(\alpha=a+bi\) とおく。
\(\alpha^2=(a^2-b^2)+2abi\)
\(\alpha^2=2i\) ならば、
\(a^2-b^2=0\) … ①, \(2ab=2\) … ②
② より、 ab = 1 また、a, b は実数だから 同符号である
よって、 ① より、 a = b
したがって、 a = b = 1
よって、\(x^2=2i\) の解は、
\(x = \pm(1+i)\)
記号の使い方により
\(x^2=2i\) を満たす x のひとつは
\(x = \sqrt{2i}\) と書いてよい。
\(\sqrt{2i}=1+i\) なのである。