番号付け替えの原理
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_{k+1} = \sum_{k=2}^{n+1} a_k}\)
この性質を，番号付け替えの原理と呼ぶことにする。
和が関係する多くのアイディアは，この原理で説明できる。
例1 等比数列の和
\(\displaystyle{U_n=\sum_{k=1}^{n} r^{k-1}}\) とおく。
\(rU_n=\)
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} r^k}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=2}^{n+1} r^{k-1}}\)
\(\displaystyle{=r^n-1+\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}}\)
\(=r^n-1+U_n\)
ゆえに，
\((r-1)U_n=r^n-1\)
例2 階差数列から元の数列の一般項を求める
数列{bn} を
数列{an} の階差数列とする。
すなわち，
\(b_n=a_{n+1}-a_n\)
このとき，n を 2以上の自然数として
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1} b_k}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1}-a_k)}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1}
-\sum_{k=1}^{n-1} a_k}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=2}^{n} a_{k}
-\sum_{k=1}^{n-1} a_k}\)
\(=a_{n}-a_1\)
例3 分数の和
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}-
\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k+1}}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}-
\sum_{k=2}^{n+1}\dfrac{1}{k}}\)
\(=1-\dfrac{1}{n+1}\)
例4 等差×等比型 基本型
\(\displaystyle{T_n=\sum_{k=1}^{n} kr^{k-1}}\),
\(\displaystyle{U_n=\sum_{k=1}^{n} r^{k-1}}\) とおく。
\(rT_n=\)
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} kr^k}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=2}^{n+1} (k-1)r^{k-1}}\)
\(\displaystyle{=nr^n+\sum_{k=1}^{n} (k-1)r^{k-1}}\)
\(=nr^n+T_n-U_n\)
ゆえに，
\((r-1)T_n=nr^n-U_n\)