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数列 {an} の 初項から 第n項 までの和を,
n∑k=1ak とかく。
すなわち,
n∑k=1ak=a1+a2+a3+⋯+an−1+an
和とは本来は逐次的,帰納・再帰的考えである。
如何にか上手く一気に初項から第 n 項までの和を求めたいと思う。
高校なら,一度といわず何度でも
式でちゃんとやってみたい。
和の定義
Sn=n∑k=1ak とかく。
S1=a1,
n≧ のとき S_{n}=S_{n-1}+a_n
逐次的(successive)計算
S_{2}=S_{1}+a_2=a_1+a_2
S_{3}=S_{2}+a_3=a_1+a_2+a_3
S_{4}=S_{3}+a_4=a_1+a_2+a_3+a_4
S_{5}=S_{4}+a_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5
…
S_{n}=S_{n-1}+a_{n}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}a_k+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}
帰納的(inductive) 再帰的(recursive)計算
S_{n}=S_{n-1}+a_{n}
S_{n-1}=S_{n-2}+a_{n-1}, S_{n}=S_{n-2}+a_{n-1}+a_n
S_{n-2}=S_{n-3}+a_{n-2}, S_{n}=S_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n
…
S_{3}=S_{2}+a_{3}, S_{n}=S_{2}+\displaystyle{\sum_{k=3}^{n}a_k}
S_{2}=a_{1}+a_{2}, S_{n}=a_{1}+\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}a_k=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}}
S_{2}-a_{1}=a_2
S_{3}-S_{2}=a_3
S_{4}-S_{3}=a_4
S_{5}-S_{4}=a_5
…
S_{n}-S_{n-1}=a_n
両辺それぞれ和を取る。
S_{n}-a_{1}=a_2+a_3+\cdots+a_{n}
すなわち,S_{n}=a_{1}+a_2+a_3+\cdots+a_n
表では
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
n |
an |
a_1 |
a_2 |
a_3 |
a_4 |
… |
a_n |
Sn |
a_1 |
S_1+a_2 |
S_2+a_3 |
S_3+a_4 |
… |
S_{n-1}+a_n |