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141030 初版 141030 更新
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数列の和
数列 {an} の 初項から 第n項 までの和を,
nk=1ak  とかく。
すなわち,
nk=1ak=a1+a2+a3++an1+an
和とは本来は逐次的,帰納・再帰的考えである。
如何にか上手く一気に初項から第 n 項までの和を求めたいと思う。

高校なら,一度といわず何度でも
式でちゃんとやってみたい。

和の定義
Sn=nk=1ak  とかく。
S1=a1,  n のとき S_{n}=S_{n-1}+a_n
逐次的(successive)計算
S_{2}=S_{1}+a_2=a_1+a_2
S_{3}=S_{2}+a_3=a_1+a_2+a_3
S_{4}=S_{3}+a_4=a_1+a_2+a_3+a_4
S_{5}=S_{4}+a_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5

S_{n}=S_{n-1}+a_{n}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}a_k+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}
帰納的(inductive) 再帰的(recursive)計算
S_{n}=S_{n-1}+a_{n}
S_{n-1}=S_{n-2}+a_{n-1}, S_{n}=S_{n-2}+a_{n-1}+a_n
S_{n-2}=S_{n-3}+a_{n-2}, S_{n}=S_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n

S_{3}=S_{2}+a_{3}, S_{n}=S_{2}+\displaystyle{\sum_{k=3}^{n}a_k}
S_{2}=a_{1}+a_{2}, S_{n}=a_{1}+\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}a_k=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}}
S_{2}-a_{1}=a_2
S_{3}-S_{2}=a_3
S_{4}-S_{3}=a_4
S_{5}-S_{4}=a_5

S_{n}-S_{n-1}=a_n
両辺それぞれ和を取る。
S_{n}-a_{1}=a_2+a_3+\cdots+a_{n}
すなわち,S_{n}=a_{1}+a_2+a_3+\cdots+a_n

表では

n 1 2 3 4 n
an a_1 a_2 a_3 a_4 a_n
Sn a_1 S_1+a_2 S_2+a_3 S_3+a_4 S_{n-1}+a_n