数列の和

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数列 {a_n} の初項から第n項までの和を，

$\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k}$ とかく。
すなわち，

$\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n}$

和とは本来は逐次的，帰納・再帰的考えである。
如何にか上手く一気に初項から第 n 項までの和を求めたいと思う。

高校なら，一度といわず何度でも
式でちゃんとやってみたい。

和の定義

$\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^n a_k}$ とかく。

$S_{1}=a_1$ ,

$n\geqq 2$ のとき

$S_{n}=S_{n-1}+a_n$

逐次的(successive)計算

$S_{2}=S_{1}+a_2=a_1+a_2$

$S_{3}=S_{2}+a_3=a_1+a_2+a_3$

$S_{4}=S_{3}+a_4=a_1+a_2+a_3+a_4$

$S_{5}=S_{4}+a_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$
…

$S_{n}=S_{n-1}+a_{n}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}a_k+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}$

帰納的(inductive) 再帰的(recursive)計算

$S_{n}=S_{n-1}+a_{n}$

$S_{n-1}=S_{n-2}+a_{n-1}$ ,

$S_{n}=S_{n-2}+a_{n-1}+a_n$

$S_{n-2}=S_{n-3}+a_{n-2}$ ,

$S_{n}=S_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$
…

$S_{3}=S_{2}+a_{3}$ ,

$S_{n}=S_{2}+\displaystyle{\sum_{k=3}^{n}a_k}$

$S_{2}=a_{1}+a_{2}$ ,

$S_{n}=a_{1}+\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}a_k=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}}$

$S_{2}-a_{1}=a_2$

$S_{3}-S_{2}=a_3$

$S_{4}-S_{3}=a_4$

$S_{5}-S_{4}=a_5$
…

$S_{n}-S_{n-1}=a_n$
両辺それぞれ和を取る。

$S_{n}-a_{1}=a_2+a_3+\cdots+a_{n}$
すなわち，

$S_{n}=a_{1}+a_2+a_3+\cdots+a_n$

表では