$\displaystyle{S_n=1+2+3+4+\cdots+n}$
$\displaystyle{T_n=1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2}$
$\displaystyle{U_n=1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3}$
とおく。

恒等式 $(2k+1)^3-(2k-1)^3=2(12k^2+1)$ を使う。

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}((2k+1)^3-(2k-1)^3)=(2n+1)^3-1}$
一方 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}2(12k^2+1)=24T_n+2n}$

$24T_n=(2n+1)^3-(2n+1)$ $=(2n+1)(4n^2+4n)$

$T_n=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$