\(\displaystyle{S_n=1+2+3+4+\cdots+n}\)
\(\displaystyle{T_n=1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2}\)
\(\displaystyle{U_n=1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3}\)
とおく。
Tn を一気に求める。
そのアイディアを学ぼう。
このアイディアは汎用性がある。
恒等式 \((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\) を使う。
この恒等式次第で, いろいろな数列の和を求めることができる。
(Tn を求める別の恒等式)
|
(k+1)3 |
- |
k3 |
= |
3k2 |
+ |
3k |
+ |
1 |
| k=1 |
23 |
- |
13 |
= |
3・12 |
+ |
3・1 |
+ |
1 |
| k=2 |
33 |
- |
23 |
= |
3・22 |
+ |
3・2 |
+ |
1 |
| k=3 |
43 |
- |
33 |
= |
3・32 |
+ |
3・3 |
+ |
1 |
| k=4 |
53 |
- |
43 |
= |
3・42 |
+ |
3・4 |
+ |
1 |
| … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
| k=n |
(n+1)3 |
- |
n3 |
= |
3・n2 |
+ |
3・n |
+ |
1 |
| 縦の和 |
(n+1)3 |
- |
13 |
= |
3Tn |
+ |
3Sn |
+ |
n |
よって，
\(3T_n=(n+1)^3-1-3S_n-n\)
\(=(n+1)^3-\dfrac{3}{2}n(n+1)-(n+1)\)
\(=\dfrac{1}{2}n(n+1)(2n+1)\)
Un についても同様にして、
\(\displaystyle{S_n=1+2+3+4+\cdots+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)}\)
\(\displaystyle{T_n=1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\)
\(\displaystyle{U_n=1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3=\dfrac{1}{4}n^2(n+1)^2}\)
この和の求め方をΣ記号で表すと，
\(\displaystyle{3T_n=3\sum_{k=1}^{n}k^2}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}((k+1)^3-k^3-3k-1)}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}((k+1)^3-k^3)-3S_n-n}\)
\(\displaystyle{=(n+1)^3-1-\dfrac{3}{2}n(n+1)-n}\)
以下同じ