和の計算が手早くなると，数列の理解が進む。
初項から第 n 項までの和を求めるには，うまい手が必要である。
知っていると知らないとではかなり差が出る。
和の計算手順をまとめておく。
どれがうまいか，使用感には個人差があります(笑 ʬ)。
等差数列
初項a, 公差 d, 項数 n の等差数列の和は
\(\dfrac{1}{2}n(a+l)\) である。
ここで，l は末項で l = a + (n - 1)d である。
例
初項 3, 公差 2, 項数 n の等差数列の和は
第 n 項が 2n+1 であることに注意して
n(n + 2)
一般項が 1次式
等差数列の和の公式を使う。
例
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n (3k-1)}\)
\(=\dfrac{1}{2}n(2+3n-1) = \dfrac{1}{2}n(3n+1)\)
(暗算でいける)
例
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1} (2k+3)}\)
\(=\dfrac{1}{2}(n-1)(5+2n+1) = (n-1)(n+3)\)
(暗算でいける)
ちなみに 第 n-1 項は 2(n-1)+3 よりも，
第 n 項 2n+3 から 公差 2 を引く方が計算ミスが少ない。
等比数列
r≠ 1 として，
初項a, 公比 r, 項数 n の等比数列の和は
\(U_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\) である。
r < 1 のとき左を使い，r > 1 のとき右を使うとよい。
例
初項 3, 公比 2, 項数 n の等比数列の和は
\(3(2^n-1)\)
例
初項 1, 公比 \(\dfrac{1}{3}\), 項数 n の等比数列の和は
\(\dfrac{3}{2}\left\{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right\}\)
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^nar^k}\)
等比数列の和の公式を使う。
例
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n 2\cdot 3^{k-1}}\)
\(=3^n-1\)
初項 2, 公比 3, 項数 n の等比数列の和
例
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n 3\cdot 2^{k+1}}\)
\(=12(2^n-1)\)
初項 12, 公比 2, 項数 n の等比数列の和
例
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1} 4\cdot 3^{k}}\)
\(=12(3^{n-1}-1)\)
初項 12, 公比 3, 項数 n-1 の等比数列の和
一般項が 2次以上
累乗の和の公式を使う。
\(1+2+3+\cdots+n =\dfrac{1}{2}n(n+1)\)
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 =\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 =\dfrac{1}{4}n^2(n+1)^2\)
例
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n (2k-1)^2}\)
\(=\dfrac{2}{3}n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n\)
\(=\dfrac{1}{3}n(2n+1)(2n-1)\)
例
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(2k+1)}\)
\(=\dfrac{1}{2}n^2(n+1)^2+\dfrac{1}{2}n(n+1)(2n+1)+\dfrac{1}{2}n(n+1)\)
\(=\dfrac{1}{2}n(n+1)^2(n+2)\)
例
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1} k(k+2)}\)
\(=\dfrac{1}{6}n(n-1)(2n-1)+n(n-1)\)
\(=\dfrac{1}{6}n(n-1)(2n+5)\)
ある分数型の和
恒等式 ak = bk+1-bk を使う
例
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)}}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)}\)
\(=1-\dfrac{1}{n+1}\)
例
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2n+1}\right)\)
例
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+2)}}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right)\)
いわゆる 等差×等比型
\(\displaystyle{T_n=\sum_{k=1}^{n} kr^{k-1}}\),
\(\displaystyle{U_n=\sum_{k=1}^{n} r^{k-1}}\) とおく。
\((r-1)T_n=nr^n-U_n\) … ☆ を使う。
例
\(S=1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots+n\cdot 2^{n-1}\)
\(S=n\cdot 2^n -U\) … ☆を使った
\(=n\cdot 2^n-(2^n-1)=(n-1)\cdot 2^n +1\)
例
\(S=1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+\cdots+n\cdot 3^{n-1}\)
\(2S=n\cdot 3^n -U\) … ☆を使った
\(=n\cdot 3^n-\dfrac{3^n-1}{2}=\dfrac{(2n-1)\cdot 3^n +1}{2}\)
よって，
\(S=\dfrac{(2n-1)\cdot 3^n +1}{4}\)
例
\(S=1\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 3^2+\cdots+(2n-1)\cdot 3^{n-1}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^n(2k-1)\cdot 3^{k-1}}\)
\(=2T-U\)
\(=(n\cdot 3^n -U) - U\) … ☆を使った
\(=n\cdot 3^n-(3^n-1)\)
よって，
\(S=(n-1)\cdot 3^n +1\)