実数 a に対して， a の絶対値 |a| とは
もし a が 0 または 正の数であれば a
もし a が 負の数であれば -a
で定義する。

a が 正の数ならば |a| は a なので，0より大きい。
a が 0 ならば |a| は 0と等しい。
a が 負の数ならば |a| は -a なので，0より大きい。
したがって，
どんな a でも |a| は 0 より大きいかまたは等しい。

a が 正の数ならば |a| は a と等しい。
a が 0 ならば |a| は 0と等しい。(つまり，aと等しい)
a が 負の数ならば |a| は -a なので，aより大きい。
したがって，
どんな a でも |a| は aより大きいかまたは等しい。

a が 正の数ならば |a| は a なので，-aより大きい。
a が 0 ならば |a| は 0 と等しい。(つまり，-aと等しい)
a が 負の数ならば |a| は -a と等しい。
したがって，
どんな a でも |a| は -a より大きいかまたは等しい。

a が 正の数ならば |a| は a なので， |a|² = a²
a が 0 ならば |a| は 0 と等しい。(つまり， |a|² = a²)
a が 負の数ならば |a| は -a と等しい。
よって，\(|a|^2=(-a)^2=a^2\)
したがって，
どんな a でも |a|² は a² と等しい。

\((|a||b|)^2=|a|^2|b|^2\)\(=a^2b^2\)
\(|ab|^2=(ab)^2\)\(=a^2b^2\)
よって，\((|a||b|)^2=|ab|^2\)
\(|a||b|\geqq 0\), \(|ab|\geqq 0\)だから，
|a||b| = |ab|