151215 初版 151215 更新
数列 {an} は等差数列であるとする。
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^na_k\cdot r^{k-1}}\),
この 和 S を求めよう。
(1 - 2r + r2)S を考察する方法
バニシング(vanishing) 法
n 項 の和が ほんの 6 項 で表すことができる。
T, U を
\(\displaystyle{T=rS=\sum_{k=1}^na_k\cdot r^{k}}\),
\(\displaystyle{U=r^2S=\sum_{k=1}^na_k\cdot r^{k+1}}\)
とおく。
すなわち，
\(\displaystyle{S=a_1+a_2r+\sum_{k=2}^{n-1}a_{k+1}\cdot r^{k}}\),
\(\displaystyle{T=a_1r+\sum_{k=2}^{n-1}a_{k}\cdot r^{k}+a_n\cdot r^n}\)
\(\displaystyle{U=\sum_{k=2}^{n-1}a_{k-1}\cdot r^{k}+a_{n-1}\cdot r^n+a_n\cdot r^{n+1}}\)
すると，
\(S-2T+U\)
\(=a_1+a_2r-2a_1r-2a_n\cdot r^n\)\(+a_{n-1}\cdot r^n+a_n\cdot r^{n+1}\)
\(\displaystyle{+\sum_{k=2}^{n-1}(a_{k+1}-2a_{k}+a_{k-1})\cdot r^{k}}\)
よく知られているように，等差数列 {an} については，
2 以上の すべての n に対して，
\(a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n\) が成り立つ。
この性質
(
等差中項) を使うと，
ほとんどの項が消滅(vanish)する。
\((1-2r+r^2) S\)
\(=(a_1+a_2r)
-2r(a_1+a_n\cdot r^{n-1})\)
\(+r^2(a_{n-1}\cdot r^{n-2}+a_{n}\cdot r^{n-1})\)
\(a_0\), \(a_{n+1}\) を拡張して考えると，
\(S
=\dfrac{a_1-a_0r-a_{n+1}\cdot r^n+a_n\cdot r^{n+1}}
{(1-r)^2}\)
例 1
\(S=1\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 3^2+\cdots +(2n-1)\cdot 3^{n-1}\)
この 和 S を求めよう。
| S |
= |
1・1 |
+ |
3・3 |
+ |
5・32 |
+ |
… |
+ |
(2n-3)・3n-2 |
+ |
(2n-1)・3n-1 |
| -6S |
= |
|
- |
2・3 |
- |
6・32 |
- |
… |
- |
2(2n-5)・3n-2 |
- |
2(2n-3)・3n-1 |
- |
2(2n-1)・3n |
| 9S |
= |
|
|
|
|
1・32 |
+ |
… |
+ |
(2n-7)・3n-2 |
+ |
(2n-5)・3n-1 |
+ |
(2n-3)・3n |
+ |
(2n-1)・3n+1 |
| したがって， |
| 4S |
= |
1 |
+ |
3 |
+ |
|
|
|
|
vanishing |
|
|
+ |
(-2n-1)・3n |
+ |
(6n-3)・3n |
すなわち，
S = 1 + (n - 1)・3n