多項式×等比型の和 vanishing 法 解説

多項式×等比 型 の数列の和を求めよう。

\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n k^p\cdot r^{k-1}}\)  とおく。

n 項 の和が ほんの (p + 1)(p + 2) 項 で表すことができる。

S

=

1・1

+

4・r

+

9・r2

+

16・r3

+

…

+

n2・rn-1

-3rS

=

-

3・r

-

12・r2

-

27・r3

-

…

-

3(n-1)2・rn-1

-

3n2・rn

3r2S

=

3・r2

+

12・r3

+

…

+

3(n-2)2・rn-1

+

3(n-1)2・rn

+

3n2・rn+1

-r3S

=

-

1・r3

-

…

-

(n-3)2・rn-1

-

(n-2)2・rn

-

(n-1)2・rn+1

-

n2・rn+2

したがって，

(1-3r+3r2-r3)S

=

1

+

r

+

vanishing

-

(n+1)2・rn

+

(3n2-(n-1)2)・rn+1

-

n2・rn+2

なぜなら，
\(\displaystyle{\sum_{r=0}^{p+1} (-1)^{r}\cdot \left( \begin{array}{c} p+1\cr r\cr \end{array}\right) (x+r)^p =0}\) … 二項係数の性質
が成り立つから，途中の項は消滅(vanish)する。
ここで， \(\left( \begin{array}{c} n\cr r\cr \end{array}\right)\) は \((a+b)^n\) の展開式の \(a^{r}\cdot b^{n-r}\) の項の係数である。