\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

\(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}\)
\(=\dfrac{y}{x}=\tan\theta\)

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=\left(\dfrac{y}{r}\right)^2+\left(\dfrac{x}{r}\right)^2\)
\(=\dfrac{x^2+y^2}{r^2}=1\) … ①
①… 原点中心半径 r の円上の点だから \(x^2+y^2=r^2\)

\(1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\)

\(1+\tan^2\theta =1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2\)
\(=\dfrac{x^2+y^2}{x^2}=\dfrac{r^2}{x^2}\) … ①
\(=\dfrac{1}{\cos^2x}\)
①… 原点中心半径 r の円上の点だから \(x^2+y^2=r^2\)