120926-1の問題について

授業中の演習，接線の問題を解説する。
入試数学の問題としては基本例題である。

さて，
\(y=x^3-6x\)のグラフの，点\((1,-5)\)における接線の方程式を求めたい。
このページに理論的なことが書いてあるし，使いこなせたらスーパー組立除法® (笑)で検算するのもよいだろう。

\(f(x)=x^3-6x\)とおいて
\(f^\prime(x)=3x^2-6\)だから，この点における接線の傾きは\(f^\prime(1)=-3\)
したがって，求める接線の方程式は\(y=-3x-2\)である。

このページに書いてあるが，接線はある意味，近似式である。

\(y=x^3-6x\)は\(x=1\)の付近では\(y=f^\prime(1)(x-1)+f(1)\)なのである。

ここまでで，注意したいのは， \((1,-5)\)における接線と，\((1,-5)\)を通る接線の違いである。
前者は接点が\((1,-5\))であり，後者は\((1,-5\))は必ずしも接点ではない。 (むしろ曲線上にない場合が多い)
この誤りは，いろいろなところで起こって，原因はただ，数式しか見ていないので，微妙な(でもきちんと書いてある)ニュアンスの違いを読み取れないことにある。

次に，この曲線と接線の\((1,-5)\)以外の共有点の座標を求めてみる。
\(x^3-6x=-3x-2\)を解けばよいのだが，よく知られているようにこの方程式は\(x=1\)を2重解にもつ。
普通に解いてももちろんいいのだが，簡単に解が見つからないときには，役に立つ定理である。
だが，証明や別の応用や本来の意味はあまり書かれていないので，ここにおいた。

\(x^3-6x=-3x-2\) ↔ \(x^3-3x+2=0\)
先ほど述べたように，\(x^3-3x+2\)は\((x-1)^2\)を因数にもつ
\(x^3-3x+2=(x-1)^2(x-\beta)\)となるが，この右辺の展開を考えれば，\(\beta=-2\)
よって，求める点の座標は\((-2,4)\)である。

最後の\(y\)座標は\(y=-3x-2\)を使っている。