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まあねえ,数学はそういわれれば全部当たり前なんですよ。
どこかで見た問題でしょうか。
私の好きな問題です。
コインを繰り返し投げて,
表の出た回数がk回になるか,あるいは,
裏の出た回数がk回になった時点で終了する。
ちょうどn回で終了する確率をpnとする。
表が出たことをAで表す。
表が出たことをBで表す。
k=2とする。
AA, AB, BA, BBとなる確率はそれぞれ14だから
p2=12
ABA, ABB, BAA, BABとなる確率はそれぞれ18だから
p3=12
k=3とする。
AAA, BBBとなる確率はそれぞれ18だから
p3=14
3回投げたうちちょうど(A,B)=(2,1), (1,2)となる確率は,
(
公式)
それぞれ
3C123=38だから,
p4=38
4回投げたうちちょうど(A,B)=(2,2)となる確率は,
(
公式)
4C224=38だから,
p5=38
k=4とする。
A |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
B |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
確率 |
116 |
416 |
616 |
416 |
116 |
p4=18,
p5=14
5回投げた時点で終了していない確率は58
これは(A,B)=(3,2), (2,3) の場合である。
どちらの場合も6回目投げると,
12の確率で終了するか(3,3)となる。
したがって,
p6=516,
p7=516
k=4 のとき
n |
4 |
5 |
6 |
7 |
確率 |
216 |
416 |
516 |
516 |
k=5とする。
A |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
B |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
確率 |
132 |
532 |
1032 |
1032 |
532 |
132 |
p5=116
ちょうど6回で終了するのは
(A,B)=(4,1)でAが出るか,
(A,B)=(1,4)でBが出るかである。
(
公式)
p6=532
ちょうど7回で終了するのは
(A,B)=(4,2)でAが出るか,
(A,B)=(2,4)でBが出るかである。
(
公式)
p7=6C426=1564
ちょうど8回で終了するのは
(A,B)=(4,3)でAが出るか,
(A,B)=(3,4)でBが出るかである。
(
公式)
p8=7C427=35128
ちょうど9回で終了するのは
(A,B)=(4,4)でAが出るか,
p9=8C428=70256
(
公式)
k=5 のとき
n |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
確率 |
16256 |
40256 |
60256 |
70256 |
70256 |
一般に
kを与えたとき,
k≦ なる n に対して,
p_n=\dfrac{{}_{n-1}C_{k-1}}{2^{n-1}}
(
公式)
さて,
kを与えたとき,
k\leqq n\leqq 2k-2 なる n に対して,
p_n=\dfrac{{}_{n-1}C_{k-1}}{2^{n-1}}
p_{n+1}=\dfrac{{}_{n}C_{k-1}}{2^{n}} なので
\dfrac{p_{n+1}}{p_n}=\dfrac{n}{2(n-k+1)}
どんな n に対してもp_n>0であるから,
\dfrac{p_{n+1}}{p_n}>1 ⇔ p_n < p_{n+1}
今は,\dfrac{p_{n+1}}{p_n}>1 ⇔ n < 2k-2
よって,
k\leqq n\leqq 2k-2 なる n に対して,
p_n が最大となるのは n = 2k-2のとき
ところで,
p_{2k-2}=\dfrac{{}_{2k-3}C_{k-1}}{2^{2k-3}}
=\dfrac{(2k-3)(2k-4)\cdots k(k-1)}{2^{2k-3}\cdot (k-1)!}
一方
p_{2k-1}=\dfrac{{}_{2k-2}C_{k-1}}{2^{2k-2}}
=\dfrac{(2k-2)(2k-3)\cdots(k+1)k}{2^{2k-2}\cdot (k-1)!}
=\dfrac{(k-1)(2k-3)\cdots(k+1)k}{2^{2k-3}\cdot (k-1)!}
=p_{2k-2}
よって,
k\leqq n\leqq 2k-1 においては,
n が 2k-2 または 2k-1 で, p_n は最大となる。