http://goo.gl/MFRFj 121226 初版
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まあねえ，数学はそういわれれば全部当たり前なんですよ。
どこかで見た問題でしょうか。
私の好きな問題です。
コインを繰り返し投げて，
表の出た回数がk回になるか，あるいは，
裏の出た回数がk回になった時点で終了する。
ちょうどn回で終了する確率を\(p_n\)とする。
表が出たことをAで表す。
表が出たことをBで表す。
k=2とする。
AA, AB, BA, BBとなる確率はそれぞれ\(\dfrac{1}{4}\)だから
\(p_2=\dfrac{1}{2}\)
ABA, ABB, BAA, BABとなる確率はそれぞれ\(\dfrac{1}{8}\)だから
\(p_3=\dfrac{1}{2}\)
k=3とする。
AAA, BBBとなる確率はそれぞれ\(\dfrac{1}{8}\)だから
\(p_3=\dfrac{1}{4}\)
3回投げたうちちょうど(A,B)=(2,1), (1,2)となる確率は，
(
公式)
それぞれ\(\dfrac{{}_3{\rm C}_1}{2^3}=\dfrac{3}{8}\)だから，
\(p_4=\dfrac{3}{8}\)
4回投げたうちちょうど(A,B)=(2,2)となる確率は，
(
公式)
\(\dfrac{{}_4{\rm C}_2}{2^4}=\dfrac{3}{8}\)だから，
\(p_5=\dfrac{3}{8}\)
k=4とする。
| A |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
| B |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| 確率 |
\(\dfrac{1}{16}\) |
\(\dfrac{4}{16}\) |
\(\dfrac{6}{16}\) |
\(\dfrac{4}{16}\) |
\(\dfrac{1}{16}\) |
\(p_4=\dfrac{1}{8}\),
\(p_5=\dfrac{1}{4}\)
5回投げた時点で終了していない確率は\(\dfrac{5}{8}\)
これは(A,B)=(3,2), (2,3) の場合である。
どちらの場合も6回目投げると，
\(\dfrac{1}{2}\)の確率で終了するか(3,3)となる。
したがって，
\(p_6=\dfrac{5}{16}\),
\(p_7=\dfrac{5}{16}\)
k=4 のとき
| n |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 確率 |
\(\dfrac{2}{16}\) |
\(\dfrac{4}{16}\) |
\(\dfrac{5}{16}\) |
\(\dfrac{5}{16}\) |
k=5とする。
| A |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
| B |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| 確率 |
\(\dfrac{1}{32}\) |
\(\dfrac{5}{32}\) |
\(\dfrac{10}{32}\) |
\(\dfrac{10}{32}\) |
\(\dfrac{5}{32}\) |
\(\dfrac{1}{32}\) |
\(p_5=\dfrac{1}{16}\)
ちょうど6回で終了するのは
(A,B)=(4,1)でAが出るか，
(A,B)=(1,4)でBが出るかである。
(
公式)
\(p_6=\dfrac{5}{32}\)
ちょうど7回で終了するのは
(A,B)=(4,2)でAが出るか，
(A,B)=(2,4)でBが出るかである。
(
公式)
\(p_7=\dfrac{{}_6{\rm C}_4}{2^6}=\dfrac{15}{64}\)
ちょうど8回で終了するのは
(A,B)=(4,3)でAが出るか，
(A,B)=(3,4)でBが出るかである。
(
公式)
\(p_8=\dfrac{{}_7{\rm C}_4}{2^7}=\dfrac{35}{128}\)
ちょうど9回で終了するのは
(A,B)=(4,4)でAが出るか，
\(p_9=\dfrac{{}_8{\rm C}_4}{2^8}=\dfrac{70}{256}\)
(
公式)
k=5 のとき
| n |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| 確率 |
\(\dfrac{16}{256}\) |
\(\dfrac{40}{256}\) |
\(\dfrac{60}{256}\) |
\(\dfrac{70}{256}\) |
\(\dfrac{70}{256}\) |
一般に
kを与えたとき，
\(k\leqq n\leqq 2k-1\) なる n に対して，
\(p_n=\dfrac{{}_{n-1}C_{k-1}}{2^{n-1}}\)
(
公式)
さて，
kを与えたとき，
\(k\leqq n\leqq 2k-2\) なる n に対して，
\(p_n=\dfrac{{}_{n-1}C_{k-1}}{2^{n-1}}\)
\(p_{n+1}=\dfrac{{}_{n}C_{k-1}}{2^{n}}\) なので
\(\dfrac{p_{n+1}}{p_n}=\dfrac{n}{2(n-k+1)}\)
どんな n に対しても\(p_n>0\)であるから，
\(\dfrac{p_{n+1}}{p_n}>1\) ⇔ \(p_n < p_{n+1}\)
今は，\(\dfrac{p_{n+1}}{p_n}>1\) ⇔ n < 2k-2
よって，
\(k\leqq n\leqq 2k-2\) なる n に対して，
\(p_n\) が最大となるのは n = 2k-2のとき
ところで，
\(p_{2k-2}=\dfrac{{}_{2k-3}C_{k-1}}{2^{2k-3}}\)
\(=\dfrac{(2k-3)(2k-4)\cdots k(k-1)}{2^{2k-3}\cdot (k-1)!}\)
一方
\(p_{2k-1}=\dfrac{{}_{2k-2}C_{k-1}}{2^{2k-2}}\)
\(=\dfrac{(2k-2)(2k-3)\cdots(k+1)k}{2^{2k-2}\cdot (k-1)!}\)
\(=\dfrac{(k-1)(2k-3)\cdots(k+1)k}{2^{2k-3}\cdot (k-1)!}\)
\(=p_{2k-2}\)
よって，
\(k\leqq n\leqq 2k-1\) においては，
n が 2k-2 または 2k-1 で， \(p_n\) は最大となる。