161225 初版 161225 更新
時刻 x における速度を f(x) とします。
いま，f(x) = 4x とします。
時刻 x から x + Δx までの移動距離 Δy を求めてみます。
移動距離 Δy は 速度に時間の重みを掛けたものになります。
Δx > 0 とすると，
今の場合， 0 と Δx の間の 任意の h に対して，
f(x) < f(x + h) < f(x+ Δx) が成り立つので，
4x Δx < Δy < 4(x + Δx) Δx
時刻 a から x までの移動距離 F(x) を求めてみます。
F(x) は f(x) に重みをつけた和になります。
具体的には，
自然数 n に対して，
\(x_0=a\), \(x_k=a+k\varDelta x\) (k=1, 2, 3, … n) とします。
ここで，\(\varDelta x = \dfrac{x-a}{n}\)
\(\displaystyle{F_1(x)=\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\varDelta x}\),
\(\displaystyle{F_2(x)=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\varDelta x}\)
とすると，今の場合
\(F_1(x)\lt F(x) \lt F_2(x)\) が成り立ちます。
\(\displaystyle{F_1(x)=\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\varDelta x}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=0}^{n-1}4(a+k\varDelta x)\varDelta x}\)
\(=4a(x-a)+2(1-\dfrac{1}{n})(x-a)^2\)
\(\displaystyle{F_2(x)=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\varDelta x}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}4(a+k\varDelta x)\varDelta x}\)
\(=4a(x-a)+2(1+\dfrac{1}{n})(x-a)^2\)
n を限りなく大きくすると，F(x) は収束して，
\(F(x) = 2x^2-2a^2\)