121129 初版
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MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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いわゆる群数列の問題について考察してみます。
1 | 3,5 | 7,9,11 | 13,15,17,19 | 21…
のように，奇数の列に1個，2個，3個，4個，…と区切りを入れる。
| 群 |
|
値 |
|
|
通し番号 |
|
項数 |
| 1 |
1 | ～ | 1 |
1 | ～ | 1 |
1 |
| 2 |
3 | ～ | 5 |
2 | ～ | 3 |
2 |
| 3 |
7 | ～ | 11 |
4 | ～ | 6 |
3 |
| 4 |
13 | ～ | 19 |
7 | ～ | 10 |
4 |
| … |
| … | |
| … | |
… |
| \(n\) |
\(A_{n,1}\) | ～ | |
\(\dfrac{1}{2}n(n-1)+1\) | ～ | \(\dfrac{1}{2}n(n+1)\) |
\(n\) |
この問題では，最後に
値を求める。
区画を外したとき，\(N\)番目の数は\(2N-1\)だから，
| 群 |
|
値 |
|
|
通し番号 |
|
項数 |
| 1 |
1 | ～ | 1 |
1 | ～ | 1 |
1 |
| 2 |
3 | ～ | 5 |
2 | ～ | 3 |
2 |
| 3 |
7 | ～ | 11 |
4 | ～ | 6 |
3 |
| 4 |
13 | ～ | 19 |
7 | ～ | 10 |
4 |
| … |
| … | |
| … | |
… |
| \(n\) |
\(n^2-n+1\) | ～ | \(n^2+n-1\) |
\(\dfrac{1}{2}n(n-1)+1\) | ～ | \(\dfrac{1}{2}n(n+1)\) |
\(n\) |
第\(n\)群の初項は\(2\left(\dfrac{1}{2}n(n-1)+1\right)-1=n^2-n+1\)
第\(n\)群の末項は\(2\left(\dfrac{1}{2}n(n+1)\right)-1=n^2+n-1\)
第\(n\)群の和は等差数列の和を考えればよい。
初項\(n^2-n+1\) 末項\(n^2+n-1\) 項数は\(n\)
よって和は\(\dfrac{1}{2}n\left((n^2-n+1)+(n^2+n-1)\right)=n^3\)
つづく