121129 初版
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MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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いわゆる群数列の問題について考察してみます。
1 | 3,5 | 7,9,11 | 13,15,17,19 | 21…
のように，奇数の列に1個，2個，3個，4個，…と区切りを入れる。
999は第何群の何番目の数だろうか。
問題によっても，いろいろな方法が考えられるが，
今回は
通し番号で考えてみる。
999は通し番号で500番目である。
各群の末項の通し番号\(T_n\)を表にしてみると
| 群 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
\(n\) |
| 項数 \(L_n\) |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
\(n\) |
| \(T_n\) |
1 |
3 |
6 |
10 |
… |
\(\dfrac{1}{2}n(n+1)\) |
群数列の第2定理 \(T_n=T_{n-1}+L_n\)
\(\dfrac{1}{2}n(n-1) < 500 \leqq\dfrac{1}{2}n(n+1)\)を解くことになるのだが，
これはおよそ\(\dfrac{1}{2}n^2\)が500になるのは\(n\)がどのくらいかと見当をつける
\(n\)が31付近の表を作ってみる。(\(31^2=961\))
| 群 |
30 |
31 |
32 |
… |
\(n\) |
| 項数 \(L_n\) |
30 |
31 |
32 |
… |
\(n\) |
| \(T_n\) |
465 |
496 |
528 |
… |
\(\dfrac{1}{2}n(n+1)\) |
したがって，999は第32群の第4項である。
群数列トップ
私用メモ
\(T_{31}=(31^2+31)\div 2=992\div 2=496\)
\(T_{30}=(30^2+30)\div 2= 930\div 2=465\)
\(T_{30}=T_{31}-L_{31}=496-31=465\)
\(T_{32}=T_{31}+L_{32}=496+32=528\)