130103 初版 130906 更新
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aは定数とする。
xについての2次方程式
\(x^2+(2-a)x+4-2a=0\) の実数解を分類しよう。
判別式について，
\(D=(2-a)^2-4(4-2a)=a^2+4a-12\) だから，
\(a \leqq -6\) または \(2 \leqq a\)…(F1)
のとき，この方程式は実数解をもつ。
平方完成からも求めることができる。
\(f(x)=x^2+(2-a)x+4-2a=\left(x+\dfrac{2-a}{2}\right)^2-\dfrac{a^2+4a-12}{4}\)
a の値 と x = -1 と x = 1 を境界にして解がどこにあるか 関係を見てみる。
\(f(1)=7-3a\)だから，
\(a=\dfrac{7}{3}\)のとき，解は 1 または \(\dfrac{-2}{3}\)
\(a > \dfrac{7}{3}\) のとき，解は1より小さいものが1つ，1より大きいものが1つである。
放物線 \(y=f(x)\) の軸は \(x=\dfrac{a-2}{2}\)であることと，(F1)から，
2つとも1より大きいことはない。
\(a \leqq -6\) または \(2\leqq a <\dfrac{7}{3}\)のとき，2つとも1より小さい。
\(f(-1)=3-a\)だから，
\(a = 3\) のとき，解は -1 または 2
\(a > 3\) のとき，解は-1より小さいものが1つ，-1より大きいものが1つである。
放物線 \(y=f(x)\) の軸は \(x=\dfrac{a-2}{2}\)であることと，(F1)から，
\(2 \leqq a < 3\) のとき，2つとも-1より大きい。
\(a \leqq -6\) のとき，2つとも-1より小さい。
まとめると次のことが分かる。
\(a < -6\)のとき，異なる2つの解はともに-1より小さい。
\(a = -6\)のとき，-4を重解としてもつ。(解はともに-1よりちいさい。)
\(-6 < a < 2\)のとき，実数解をもたない。
\(a = 2\)のとき，0を重解としてもつ。(解は-1と1のあいだにある。)
\(2 < a < \dfrac{7}{3}\)のとき，異なる2つの解は，
2つとも -1 より大きく 1 より小さい
\(a = \dfrac{7}{3}\)のとき，1つは \(\dfrac{-2}{3}\) , もう1つは 1
\(\dfrac{7}{3} < a < 3\)のとき，1つは -1 と 1 のあいだにあり，
もう1つは 1 より大きい。
\(a = 3\)のとき，1つは -1 ，もう1つは2
\(3 < a\)のとき，1つは -1 より小さく，もう1つは 1 より大きい。