http://goo.gl/MFRFj 130109 初版
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例1
\(a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
∞ |
| \(a_n\) |
\(\sqrt{2}-\sqrt{1}\) |
\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) |
\(\sqrt{4}-\sqrt{3}\) |
\(\sqrt{5}-\sqrt{4}\) |
\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\) |
↘ |
0 |
数列の極限の問題である。
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0}\)
次のように説明する。
十分大きな n に対して，
\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
n を大きくすると， 分母はどんな正の数よりも大きくなりうるから，
この数列は 0 に収束する。
例2
\(a_n=\sqrt{2n-1}-\sqrt{n}\)
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
∞ |
| \(a_n\) |
0 |
\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) |
\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\) |
\(\sqrt{7}-\sqrt{4}\) |
\(\sqrt{9}-\sqrt{5}\) |
↗ |
+∞ |
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty}\)
次のように説明する。
十分大きな n に対して，
\(\sqrt{2n-1}-\sqrt{n}=\sqrt{n}\left(\sqrt{2-\dfrac{1}{n}}-1\right)\)
ここで，数列\(\left\{\sqrt{2-\dfrac{1}{n}}-1\right\}\) は単調な増加列であり，
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{2-\dfrac{1}{n}}-1\right)=\sqrt{2}-1}\)
である。
例3
\(a_n=\sqrt{n(n+1)}-n\)
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
∞ |
| \(a_n\) |
\(\sqrt{2}-1\) |
\(\sqrt{6}-2\) |
\(\sqrt{12}-3\) |
\(\sqrt{20}-4\) |
\(\sqrt{30}-5\) |
↗ |
\(\dfrac{1}{2}\) |
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\dfrac{1}{2}}\)
次のように説明する。
十分大きな n に対して，
\(\sqrt{n(n+1)}-n=\dfrac{n}{\sqrt{n(n+1)}+n}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\)
ここで，数列\(\left\{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+1\right\}\) は単調な減少列であり，
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+1\right)=2}\)
である。
次のような説明もある。
\(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)^2-n(n+1)=\dfrac{1}{4}\)なので，
どんな正の数 ε にも 十分大きな n があって，
\(0 < \left(n+\dfrac{1}{2}\right)-\sqrt{n(n+1)}=
\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{\left(n+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{n(n+1)}}<\epsilon\)
こんな感じで，例を挙げていく。