130329 初版 130329 更新
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高等数学では無限級数は実用的な解析学の花形である。
多少気をつければ，たやすく微分積分できるのが級数のいいところである。
例3
\(a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\),
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}\)
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
→ |
∞ |
| an |
\(\sqrt{2}-1\) |
\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) |
\(2-\sqrt{3}\) |
\(\sqrt{5}-2\) |
\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\) |
→ |
0 |
| Sn |
\(\sqrt{2}-1\) |
\(\sqrt{3}-1\) |
1 |
\(\sqrt{5}-1\) |
\(\sqrt{6}-1\) |
→ |
∞ |
この例のように，
数列 {an} が 0 に収束しても，
級数は発散することがある。
級数が収束するならば，数列は0に収束するが，
逆は必ずしも成り立たない。
数列が 0 に収束することは，
級数が収束するための必要条件である。
数列は 0 に収束することがなければ，
級数は収束しない。
例4
\(a_n=(-1)^{n-1}\),
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}\)
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
→ |
∞ |
| an |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
? |
? |
| Sn |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
? |
? |
数列 {Sn} は n が奇数のときは 1, 偶数のときは 0 で振動している。