130329 初版 130329 更新
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高等数学では無限級数は実用的な解析学の花形である。
多少気をつければ，たやすく微分積分できるのが級数のいいところである。
無限数列の形式和を無限級数という。
\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}\)
\(=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots\)
しばらく表を多用する。
例1
\(a_n=\dfrac{1}{2^n}\),
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}\)
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
→ |
∞ |
| an |
\(\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{1}{4}\) |
\(\dfrac{1}{8}\) |
\(\dfrac{1}{16}\) |
\(\dfrac{1}{32}\) |
→ |
0 |
| Sn |
\(\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{3}{4}\) |
\(\dfrac{7}{8}\) |
\(\dfrac{15}{16}\) |
\(\dfrac{31}{32}\) |
→ |
1 |
無限級数の和とは，
初項から第 n 項までの和(部分和という) Snを一般項とする
数列 {Sn} の極限と
定義する。
すなわち，\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}\),
\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}S_n}\)
例2
\(a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}\),
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}\)
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
→ |
∞ |
| an |
\(\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{1}{6}\) |
\(\dfrac{1}{12}\) |
\(\dfrac{1}{20}\) |
\(\dfrac{1}{30}\) |
→ |
0 |
| Sn |
\(\dfrac{1}{2}\) |
\(\dfrac{2}{3}\) |
\(\dfrac{3}{4}\) |
\(\dfrac{4}{5}\) |
\(\dfrac{5}{6}\) |
→ |
1 |
例1 の説明
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^k}=1-\dfrac{1}{2^n}}\)
(参考
こちら)
\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=1}\)
例2 の説明
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}=1-\dfrac{1}{n+1}}\)
(参考 こちら)
\(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=1}\)