n が整数のとき， \(\{x^n\}^\prime = nx^{n-1}\)
導き出してみよう。
n = 1のとき，
\(\displaystyle{x^\prime=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{(x+h)-x}{h}=1}\)
よって，n=1のとき成り立つ。
n が 正の整数 k のとき，
\(x^k = x\cdot(x^{k-1})\) で
積の微分法の公式および
帰納法の仮定を用いて
\(\{x^k\}^\prime=(x^{k-1})+x\cdot (k-1)x^{k-2}=k\cdot x^{k-1}\)
n = -1 のとき，
\(1=x\cdot\dfrac{1}{x}\) とみて
積の微分法の公式
\(\{1\}^\prime=\dfrac{1}{x}+x\cdot\left\{\dfrac{1}{x}\right\}^\prime\) より，
\(\left\{\dfrac{1}{x}\right\}^\prime=-\dfrac{1}{x^2}\)
n が 正の整数 k のとき，
商の微分法の公式を用いて，
\(\left\{\dfrac{1}{x^k}\right\}^\prime=-\dfrac{kx^{k-1}}{x^{2k}}=-\dfrac{k}{x^{k+1}}\)