例1
\(y=\sqrt{x}\) を x で微分する。
\(x=y^2\)
関数 x ↦ y を，
関数 y ↦ x の 逆関数とみている。
逆関数の微分法により
\(\dfrac{dx}{dy}=2y\) だから，
\(y^\prime = \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
例2
\(y=\sqrt[3]{x}\) を x で微分する。
\(x=y^3\)
関数 x ↦ y を，
関数 y ↦ x の 逆関数とみている。
逆関数の微分法により
\(\dfrac{dx}{dy}=3y^2\) だから，
\(y^\prime = \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)
一般に
\(y=\sqrt[p]{x}=x^{\frac{1}{p}}\) を x で微分する。
\(x=y^p\)
関数 x ↦ y を，
関数 y ↦ x の 逆関数とみている。
逆関数の微分法により
\(\dfrac{dx}{dy}=py^{p-1}\) だから，
\(y^\prime = \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{p\sqrt[p]{x^{p-1}}}=\dfrac{1}{p}x^{\frac{1}{p}-1}\)