媒介変数で表される関数の微分

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130415 初版 130415 更新
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例1

t を媒介変数として, x, y が

$x=3t+2$ ,

$y=t^2+1$ と表されているとする。

$\dfrac{dx}{dt}=3$ ,

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{3}t$

例2

t を媒介変数として, x, y が

$x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ ,

$y=\dfrac{2t}{1+t^2}$ と表されているとする。

$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{(-2t)(1+t^2)-(1-t^2)(2t)}{(1+t^2)^2}=\dfrac{-4t}{(1+t^2)^2}$

$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2(1+t^2)-(2t)(2t)}{(1+t^2)^2}=\dfrac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}$
媒介変数で表される関数の微分の公式より

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-1+t^2}{2t}=-\dfrac{x}{y}$