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130210 初版 130415 更新

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前に書いたように 指数関数 f(x)=ax は実質1種類である。
底としてはネイピア(Napier)数 e が相応しい。

ネイピア(Napier)数 e に対して,
f(x)=ex の導関数は f(x)=ex
すなわち,(ex)=ex
また,y=ex は 微分方程式 y=y, y(0)=1 の解である。
前回
limh0eh1h=1
これで e を構成していったのは, ex の微分をやりたかったからである。
実際,
f(x)=ex とすると,高校における導関数の定義により,
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0ex+hexh=exlimh0eh1h=ex

前に書いたように 対数関数 f(x)=logax は実質1種類である。
底としてはネイピア(Napier)数 e が相応しい。
logex を ただ logx とかくことが多く,自然対数という。

一般の底に対しては

f(x)=ax の導関数は f(x)=axloga
実際,
指数関数の底の変換公式 b=alogab により, ax=exloga
合成関数の微分法により, f(x)=exlogaloga=axloga

f(x)=logx の導関数は f(x)=1x
実際,
y=f(x) とおいて, x=ey
両辺を y で微分すると, dxdy=ey
したがって, 逆関数の微分法により, dydx=1ey=1x

一般の底に対しては

f(x)=logax の導関数は f(x)=1xloga
実際,
対数関数の底の変換公式 logab=logcblogca により, logax=logxloga
よって,f(x)=1xloga