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130210 初版 130415 更新
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前に書いたように
指数関数 f(x)=ax は実質1種類である。
底としてはネイピア(Napier)数 e が相応しい。
ネイピア(Napier)数 e に対して,
f(x)=ex の導関数は f′(x)=ex
すなわち,(ex)′=ex
また,y=ex は 微分方程式 y′=y, y(0)=1 の解である。
前回
limh→0eh−1h=1
これで e を構成していったのは,
ex の微分をやりたかったからである。
実際,
f(x)=ex とすると,高校における導関数の定義により,
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0ex+h−exh=ex⋅limh→0eh−1h=ex
前に書いたように
対数関数 f(x)=logax は実質1種類である。
底としてはネイピア(Napier)数 e が相応しい。
logex を ただ logx とかくことが多く,自然対数という。
一般の底に対しては
f(x)=ax の導関数は f′(x)=axloga
実際,
指数関数の底の変換公式
b=alogab により,
ax=exloga
合成関数の微分法により,
f′(x)=exlogaloga=axloga
f(x)=logx の導関数は f′(x)=1x
実際,
y=f(x) とおいて,
x=ey
両辺を y で微分すると,
dxdy=ey
したがって,
逆関数の微分法により,
dydx=1ey=1x
一般の底に対しては
f(x)=logax の導関数は f′(x)=1xloga
実際,
対数関数の底の変換公式 logab=logcblogca により,
logax=logxloga
よって,f′(x)=1xloga