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\int f^\prime(u)\dfrac{du}{dx} dx = f(x)+C (Cは定数)
実際の公式としての活用は次のとおり
\int y dx = \int y\dfrac{dx}{du}du
x の関数を x で積分したいとき,
x の関数 u で式を置き換えて,u で積分してみよう。
y を u で表して,
x を u で微分したものを y に掛けると u で積分することができる。
例
不定積分
\int x\sqrt{x+1} dx を求めたい。
u=\sqrt{x+1} とおくと,
x=u^2-1, \dfrac{dx}{du}=2u
\int x\sqrt{x+1} dx=\int (u^2-1)u(2u) du
=\int 2(u^4-u^2) du
=\dfrac{2}{15}(3u^5-5u^3)+C
=\dfrac{2}{15}(x+1)^{\frac{3}{2}}(3x-2)+C
\int y\dfrac{du}{dx} dx = \int y du
x の関数を x で積分したいとき,
x の関数 u で式を置き換えて,u で積分してみよう。
積分したい式のうち u を x で微分した式を見つけて,
その部分を割ると u で積分することができる。
例
不定積分
\int \sin^3 x\cos x dx を求めたい。
u=\sin x とおくと,
\dfrac{du}{dx}=\cos x
\int \sin^3 x\cos x dx
=\int u^3 \dfrac{du}{dx}dx
=\int u^3 du
=\dfrac{1}{4}u^4+C
=\dfrac{1}{4}\sin^4 x+C