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130502 初版 130504 更新
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\int f^\prime(u)\dfrac{du}{dx}  dx = f(x)+C (Cは定数)
実際の公式としての活用は次のとおり

\int y  dx = \int y\dfrac{dx}{du}du
x の関数を x で積分したいとき,
x の関数 u で式を置き換えて,u で積分してみよう。
y を u で表して, x を u で微分したものを y に掛けると u で積分することができる。
不定積分 \int x\sqrt{x+1}  dx を求めたい。
u=\sqrt{x+1} とおくと,
x=u^2-1,  \dfrac{dx}{du}=2u
\int x\sqrt{x+1}  dx=\int (u^2-1)u(2u)  du =\int 2(u^4-u^2)  du =\dfrac{2}{15}(3u^5-5u^3)+C
=\dfrac{2}{15}(x+1)^{\frac{3}{2}}(3x-2)+C

\int y\dfrac{du}{dx} dx = \int y  du
x の関数を x で積分したいとき,
x の関数 u で式を置き換えて,u で積分してみよう。
積分したい式のうち u を x で微分した式を見つけて, その部分を割ると u で積分することができる。
不定積分 \int \sin^3 x\cos x dx を求めたい。
u=\sin x とおくと,
\dfrac{du}{dx}=\cos x
\int \sin^3 x\cos x  dx =\int u^3 \dfrac{du}{dx}dx =\int u^3  du =\dfrac{1}{4}u^4+C
=\dfrac{1}{4}\sin^4 x+C