\((x\sin x)^\prime = \sin x+x\cos x\) だから
\(\int x\cos x\ dx= x\sin x-\int \sin x\ dx\)
一般に
\((fg)^\prime = f^\prime g+fg^\prime\)
(
積の微分法)だから
\(\int f^\prime g\ dx= fg - \int fg^\prime\ dx\) または
\(\int fg^\prime \ dx= fg - \int f^\prime g\ dx\)
例
\(\int x \sin x\ dx = -x\cos x + \int\cos x\ dx\)
\(= -x\cos x + \sin x+C\)
\(f=x\), \(f^\prime=1\)
\(g^\prime=\sin x\), \(g=-\cos x\)
例
\(\int \log x\ dx = x\log x - \int\ dx\)
\(= x\log x - x +C\)
\(f^\prime =1\), \(f=x\)
\(g=\log x\), \(g^\prime =\dfrac{1}{x}\)
例
\(\int x^2e^x\ dx = x^2e^x - \int 2xe^x\ dx\)
ここで，
\(\int xe^x\ dx = xe^x - \int e^x\ dx\)
\(= (x-1) e^x + C\)
よって，
\(\int x^2e^x\ dx = (x^2-2x+2)e^x+C\)