\((\sin 2x)^\prime = 2\cos 2x\) だから
\(\int 2\cos 2x dx= \sin 2x + C\)
\((\sin x^2)^\prime = 2x\cos x^2\) だから
\(\int 2x\cos x^2 dx= \sin x^2 + C\)
\((e^{-2x})^\prime = -2e^{-2x}\) だから
\(\int e^{-2x} dx= -\dfrac{1}{2}e^{-2x} + C\)
\((e^{-x^2})^\prime = -2xe^{-x^2}\) だから
\(\int xe^{-x^2} dx= -\dfrac{1}{2}e^{-x^2} + C\)
\((\sin^2 x)^\prime = 2\sin x\cos x\) だから
\(\int \sin x \cos x dx= \dfrac{1}{2}\sin^2 x + C\)
最後の積分は，他にも方法があるけれど。
u を x の関数 とすると，
合成関数の微分法により，
\(\dfrac{d}{dx}f(x) = \dfrac{d}{du}f(u) \dfrac{du}{dx}\)
\(\int f^\prime(u) \dfrac{du}{dx} dx = f(x)+C\)
(
注釈 )
例
\(u=\cos x\), \(y=\log|u|\) とおくと，
\(\dfrac{du}{dx}=-\sin x\), \(\dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{u}\) だから
\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = -\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}\)
よって，
\(\int \tan x dx =-\log|\cos x|+C\) (Cは定数)
例
\(u=\sin x\), \(y=\log|u|\) とおくと，
\(\dfrac{du}{dx}=\cos x\), \(\dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{u}\) だから
\(\cot x=\dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}\)
よって，
\(\int \cot x dx =\log|\sin x|+C\) (Cは定数)