131017 初版  131018 更新
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ベクトルは図形の問題を解く道具である。
そう思っていると、教科書にはないがよく用いられる式がある。
三角形OABにおいて、 \(\overrightarrow{\rm OA}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{\rm OB}=\vec{b}\) で
内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{{\rm OA}^2+{\rm OB}^2-{\rm AB}^2}{2}\)
わざわざなくてもいいじゃないかという声もあるが、 そこらへんの式よりよく使われる。
内積を求めるのに次の2つの手があるが、

手法1

\({\rm AB}^2=|\vec{b}-\vec{a}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}\)
を用いる方法。
案外好まれない。

手法2

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\theta\)
ここで、 ∠AOB = θ,  \(\cos\theta=\dfrac{{\rm OA}^2+{\rm OB}^2-{\rm AB}^2}{2{\rm OA}\cdot{\rm OB}}\)
を用いる方法。
余弦定理は好きみたい。

ならば、よく使うので、暗算で式を導いたことにしようということ。