130126 初版 131018 更新
「垂線をひく」、「垂線に注目する」ことと、
三角比のよさを体現する考え方である。
余弦定理はこの操作をかくして辺の長さの関係を記述している。
図のように、三角形ABC(Bは直角ではないとしよう)の点Cから対辺ABに垂線CHをひく。
三角形の辺の表し方の約束によって、
BC = a, CA = b, AB = c
このとき、
a2 = b2 + c2 - 2 b c cos A
3辺の長さから，角の大きさを求めるためにも使う。
\(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
導出
直角三角形
CAHにおいて，
三角比の定義によって，
AH = b cos A, CH = b sin A,
BH = c - b cos A
直角三角形
CBHにおいて，
ピタゴラスの定理によって，
\(a^2=(b\sin A)^2+(c-b\cos A)^2=b^2(\sin^2 A+\cos^2 A)+c^2-2bc\cos A\)
\(=b^2+c^2-2bc\cos A\)
主な用途
たくさん