配列 群数列 通し番号法

以前の解説 群数列 階差数列法

自然数の列に第n 群に 3n - 2 (個)の数が属するように，区切りを入れます。
1 | 2, 3, 4, 5 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | 13, ……
第n 群初項を a_n とします。
a_n を n の式で表してみましょう。

いわゆる 群数列 の問題です。
群数列の項を表すとき
第8群12番目
いうようなことがあります。
群数列は数を 2次元に配列したもの あるいは 2重添え字の数列と 見ることができます。

いろいろな解法がありますが，
ここでは 「通し番号法」とでも呼べる方法を説明します。
２つの段階からなります。
[1] 第 n 群初項の「通し番号 N」を n の式で表す
[2] 通し番号 N 番 の項の値は何かを考える

順番待ちの「行列」を例に考えてみます。
私が 第n グループの先頭だとします。
第n グループの人数 (=長さ) が l_n だとします。
私の前に (n - 1) グループいるわけですが，
私の前に並んでいる人数は \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}l_k}\) (\(=S_{n-1}\) とおく) (人)です。
先頭から順に整理券を配布すると，
私の整理券の番号は \(S_{n-1}+1\) (番) です。

今の場合
[1] 第n 群初項の「通し番号」 N を求めてみます。
第 1 群から 第 n - 1 群までの項数は
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n-1}(3k-2)}\) で，
\(\dfrac{1}{2}(n-1)(3n-4)\) 項です。
第n 群初項の通し番号 N は \(\dfrac{3n^2-7n+6}{2}\)
[2] 通し番号 N 番の項の値は N ですから，
\(a_n=\dfrac{3n^2-7n+6}{2}\)