数列の和

160503 初版 161103 更新
 数列の項の和を考えます。
 数列 {3n - 1} の初項から第10 項までの和を \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{10}(3k-1)}\) と書きます。 すなわち, \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{10}(3k-1)=2+5+8+11+14+17+20+23+26+29}\)
ただΣ記号の意味を述べているだけで, 計算しているわけではありません。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}\)
Σ計算の具体例はこちらを見てください。。
 実際に,有名な数列の和を求めてみましょう。
1, 2, 3, 4, …, 100
1 から 100 までの自然数の和です。
Σ記号を使って表せば,
\(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}k}\) はいくらになるかということです。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}(101-k)}\) は S と等しいことを使って,
\(2S=\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}k}\) \(+\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}(101-k)}\) \(=\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}(k+(101-k))}\) \(=101×100\)
したがって,S = 5050 となります。

 一般に, \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n k=\dfrac{1}{2}n(n+1)}\)
左辺は,k が 1 から n までわたるときの項の和ということで, Σ記号を使わなければ k はないはずです。 計算結果(右辺)に k は出てきません。
 次のような性質があります。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k}\) \(+\displaystyle{\sum_{k=1}^n b_k}\) \(=\displaystyle{\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)}\)
 また,c を k に依らない定数とすれば,
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n ca_k}\) \(=c\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k}\)
特に, \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n c=cn}\)
 数列 {an} に対して, 初項から第n 項までの和 Sn, \(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^n a_k}\) を考えます。
これによって,数列 {Sn} を作っています。
和の定義によって,
S1 = a1
n≧2 のとき,Sn = Sn-1 + an
が成り立ちます。
 数列の和を一気に求めるアイディアには
  1. 繰り返しを掛け算で表す
  2. vanishing 法 第1
  3. vanishing 法 第2
などがあります。