階差数列

数列 {a_n}: 2, 3, 6, 11, 18, 27, 38, ……
第8 項の値は 51 が暗黙の了解です。
規則を見抜くには隣どうしの差を考えているでしょう。
b_n = a_n+1 - a_n によって， 新しい数列 {b_n} を定めて， この数列を{a_n}の階差数列といいます。
数列 {b_n}: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ……
これは，初項1, 公差2 の等差数列です。 1を初項とする小さい順に並んだ奇数の列とも言えます。
b_n = 2n - 1

つまり，a_k+1 - a_k = 2k - 1

k = 1,	a2 - a1 = 1
k = 2,	a3 - a2 = 3
k = 3,	a4 - a3 = 5
……	……………………
k = n-2,	an-1 - an-2 = 2n - 5
k = n-1,	an - an-1 = 2n - 3

n-1 本の等式の辺々を加えると，
a_n - a₁ = (n - 1)² (vanishing 法 第2 です)
これは n = 1 のときも成り立つ式です。したがって，
a_n = n² - 2n + 3