配列 群数列

161103 初版 161103 更新
いわゆる群数列の問題を2題
  1. 問題 1 (これ)
  2. 問題 2
自然数の列に第n 群に 3n - 2 (個)の数が属するように,区切りを入れます。 第n 群の最後の数を an と書くことにします。
1 | 2, 3, 4, 5 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | 13, ……
 an を n の式で表してみましょう。
 このような問題は,よく群数列の問題と呼ばれます。 通常,数列は左から右へ(上から下へ)一列に数が並んでいるイメージです。 群数列は平面に数を配列しているイメージをもつとよいでしょう。 つまり,
11
22 3 4 5
36 7 8 9 10 11 12
413 14 15 16 …… 21 22

数列の問題では,数がある規則で並んでいますが, その規則が実感できているか,設定以外にもう少しやっているとよいでしょう。
群数列は数を縦横に配列しているのです。 群ごとに一行で並んでいるとみるのです。 そして,段をなしています。 2次元のインデックスをもつことになります。 群数列の問題では,群の 長さ に大きな意味があります。
 n ≧ 2 のとき, an - an-1 = 3n - 2 ① が成り立ちます。
{an}: 1, 5, 12, 22, …… ②
から階差数列を考えているのではありません。 数の並び ② が与えられていて, 第n項を求めよという問題とは少し異なります。 a5 は 35 ですが, 35 と推測するか, 35 となる理由があるかによって問題の性質が異なります。
この場合,35 となるのは理由があります。 それは,第5群の長さが13 と規定されているからです。
関係式(漸化式)① は第n 群の長さが 3n - 2 だから 成り立つ式です。
 ①から vanishing 法 第2 を使って,
\(\displaystyle{a_n=\sum_{k=1}^{n}(3k-2)}\)
\(a_n=\dfrac{n(3n-1)}{2}\)
 600は第何群の小さいほうから何番目でしょうか。
第n 群に属するとすると, n は
\(\dfrac{n(3n-1)}{2}\leqq 600\) を満たす最大の整数です。
大体20 ではないかと見当をつけます。
n 1 2 3 19 20
an 1 5 12 532 590

したがって,600 は第21 群の小さいほうから10 番目の数です。
 第n 群に属する数の和はいくらでしょうか。
\(\dfrac{(n-1)(3n-4)}{2}+1\) から \(\dfrac{n(3n-1)}{2}\) までの 3n - 2 個の自然数の和ですから,
\(\dfrac{(3n-2)(3n^2-4n+3)}{2}\)
 よくある群数列の問題その2 もいかがでしょう。